Шестеркин — воспитанник «Крыльев Советов». Летом 2012 года вратаря выбрал московский «Спартак» во втором раунде драфта КХЛ под общим 31-м номером. Дебют Шестеркина в профессиональном хоккее состоялся 27 февраля в игре Кубка надежды против минского «Динамо». Осенью 2013 года вратарь отметился голом в ворота «Ред Булла» в матче регулярного чемпионата МХЛ.

Весной 2014 года Шестеркин стал обладателем Кубка Харламова в составе МХК «Спартак». Перед сезоном 2014 / 2015 «Спартак», который отказался от участия в следующем сезоне КХЛ из-за финансовых проблем, обменял в СКА спортивные права на 16 игроков своей системы, включая Игоря. Голкипер со СКА стал двукратным чемпионом КХЛ (2015 и 2017) и в сезоне 2016 / 2017 обновил клубный рекорд по количеству минут без пропущенных шайб (272:08).

Шестеркин задрафтован «Рейнджерс» в четвертом раунде драфта НХЛ 2014 под общим 118-м номером. Летом 2019 года заключил трехлетний контракт новичка с клубом из Нью-Йорка и дебютировал в НХЛ 7 января 2020 года в матче регулярного чемпионата против «Колорадо». Летом 2021 года российский вратарь подписал новый контракт до окончания сезона 2024 / 2025. По итогам регулярного чемпионата НХЛ 2021 / 2022 Игорь стал обладателем «Везины Трофи».

Шестеркин вместе вместе с молодежной сборной России стал серебряным призером молодежного чемпионата 2015. Голкипер входил в заявку сборной России на чемпионатах мира 2016 и 2017 (дважды бронза). В феврале 2018 года Игорь стал олимпийским чемпионом: игрок провел турнир в качестве третьего вратаря команды Олимпийских атлетов России.